... Ein Zoom in die Unendlichkeit einer Mandelbrot-Menge:
Gute Reise ...
Wie entsteht „so a Buidl“ ? (wird aufgrund des Aussehens auch Apfelmännchen genannt)
Es werden iterative (auf sich selbst angewendete) Funktionen im komplexen Zahlenraum fortlaufend berechnet. Bei jeder Iteration entsteht eine weitere (komplexe) Zahl. Diese Zahlen ergeben aufgereiht eine (unendlichen) Folge (auch Orbit genannt). Abhängig von einem Startwert und einem Parameter c zeigen die so gewonnen Zahlenfolgen extrem unterschiedliche Eigenschaften. Chaotisch oder „brav“.
Seit Gauß ist es üblich die Menge der komplexen Zahlen in Gestalt einer Zahlenebene zu visualisieren. Wenn man nun (näherungsweise) jeden Punkt der Zahlenebene mit einem Pixel identifiziert, lässt sich die Mandelbrot-Menge wunderbar farbig darstellen.
Folgender Mandelbrot-Algorithmus:
Wenn die mit Parameter c generierte Folge beschränkt ist, c also zur Mandelbrotmenge gehört, wird das Pixel schwarz gefärbt, ansonsten weiß. Man kann noch einen Schritt weiter gehen und auch die Punkte farbig markieren, welche nicht Element der Mandelbrot-Menge sind . Nämlich abhängig von der Anzahl der Iterationen die erforderlich sind bis feststeht, dass die Folge nicht beschränkt ist. So entsteht ein „Geschwindigkeitsbild“ : Die Farbe jedes Pixels gibt an, wie schnell die Folge mit dem betreffenden Parameter in die Unendlichkeit rauscht.
Auffallend ist die Selbstähnlichkeit. Das ist der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Wenn man genau hinsieht entdeckt man immer noch kleinere Apfelmännchen und das scheint sich bis ins Unendliche fortzusetzen.
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